Mine

Thèoreme : Tout nombre premier strictement superieur à 3 est congru à 1 ou à -1 modulo a, avec a n'importe quel entier naturel non nul.
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Démonstration:
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Procédons par disjonction de cas. Un nombre premier n'admet comme diviseur que lui même ou un. On admets donc deux cas:

premier cas : avec p nombre premier strictement superieur à trois et k entier naturel quelconque, pgcd(p;k)=1

Selon le théorème de Bézout, PGCD(p;k)=1 <=> il existe  (u;v) appartenant à Z^2 tel que pu+kv=1. On choisit u=1 et v=-a. On a alors: p-ak=1 <=> p=ak+1 <=> p congru à 1 modulo a


second cas :  avec p nombre premier strictement superieur à trois et k entier naturel quelconque, pgcd(p;k)=p


Puisque pgcd(p;k)=p, p divise k, on peut donc ecrire : pgcd(p;k)=pgcd(p*(1);p*(k/p))=p*pgcd(1;k/p)=p <=> pgcd(1;k/p)=1. 
Selon le théorème de Bézout, PGCD(1;k/p)=1 <=> il existe  (u;v) appartenant à Z^2 tel que 1*u+(k/p)v=1. On choisit v=ap et u=-p, on a alors : 1*(-p)+ap*(k/p)=-p+ak=1 <=> p=ak-1


Donc on a bien: tout nombre premier strictement superieur à 3 est congru à 1 ou à -1 modulo a, avec a n'importe quel entier naturel non nul.



Problème:
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Je pense que ma démo est fausse car on peut démontrer n'importe quoi ainsi... en somme en choisissant par exemple u=p+1 dans le deuxième cas, on peut démontrer que  tout nombre premier strictement superieur à 3 est congru à 0 modulo a (donc que tout nombre premier superieur à 3 est divisible par n'importe quel entier non nul :o)