A könnyebb tárgyalhatóság kedvéért a továbbiakban az 5 információs bit alkotta egységet A, a páros paritások alkotta 10 bitet B, a páratlan paritások alkotta 5 bitet C résznek nevezem.
Egy-egy paritásbit megváltozását a vizsgált információs bitek közül páratlan számúnak a változása okozza. Ez a B részben egy, a C részben pedig egy vagy három információs bit megváltozását jelenti.
Egy-egy információs bit mind a B, mind a C részben 4-4 bit képzésében vesz részt.
Tetszőleges EGY információs bit változása esetén:
B: az egy megváltozotthoz 4 változatlant tudok találni, összesen: 4*1=4 esetben van változás
C: B részhez hasonlóan 4 esetben történik változás
Összesen: 1+4+4=9 a Hamming távolság egy darab tetszőleges információs bit megváltoztatása esetén.
^ ^ ^
| | |
A B C
Tetszőleges KETTŐ információs bit megváltozása esetén:
B: egy megváltozotthoz három változatlant tudok találni, majd ugyanígy mégegyszer hármat a a másik megváltozotthoz, azaz összesen 2*3=6 bit fog változni.
C: akkor történik változás, amikor a vizsgált bitekből csak egy változott, tehát az egyik, vagy a másik megváltozott bit nem képezi a vizsgálat tárgyát, tehát 2 esetben.
Összesen: 2+6+2=10
Tetszőleges HÁROM információs bit megváltozása esetén:
B: egy megváltozott bithez két változatlant tudok találni, ugyanígy a másik kettőhöz, azaz összesen 3*2=6 bit változik.
C: akkor történik változás, ha az összes megváltozott bit a vizsgálat tárgyát képezi, azaz két esetben, amikor az egyik, illetve a másik változatlan nincs benne ebben. Összesen 2 lehetőség.
Összesen: 3+6+2=11
Tetszőleges NÉGY információs bit megváltozása esetén:
B: mind a 4 megváltozott bithez csak egy változatlant tudok találni, tehát 4 esetben van változás
C: akkor történik változás, ha a 4 ből csak 3 képezi a vizsgálat tárgyát, azaz 4 esetben, amikor az egyik megváltozott nem tartotik bele ebbe a vizsgálatba.
Összesen: 4+4+4=12
Tetszőleges ÖT információs bit megváltozása esetén:
B: minden esetben két megváltozott bitet vizsgálunk, azaz nincs változás a paritásbitnél.
C: szintén minden esetben 4 megváltozottat vizsgálunk, tehát itt sincs változás.
Összesen: 5+0+0=5
Tehát két kódszó között a lehető legkisebb Hamming távolság akkor fordul elő, amikor mindegyik információs bit megváltozik, azaz a kód Hamming távolsága: 5.