x³ - 3x + Raiz(3) = 0
Fazendo x=u+v, obtemos:
u³ + v³ + (u+v)(3uv-3) + Raiz(3) = 0
Escolhendo u e v apropriados para que a sentença acima se torne verdadeira, podemos montar o sistema:
{u³ + v³ = -Raiz(3)
{u³v³ = 1
Resolvendo,
u³ = (-Raiz(3)+i)/2 e v³ = (-Raiz(3)-i)/2
Escrevendo na forma trigonométrica e tirando a raiz cúbica por De Moivre:
u³ = cos(150°) + i*sen(150°) -> u = cos(50° + 120°*k) + i*sen(50° + 120°*k), k E {0,1,2}
v³ = cos(210°) + i*sen(210°) -> v = cos(70° + 120°*k) + i*sen(70° + 120°*k), k E {0,1,2}
x = u + v = cos(50°+120°*k) + cos(70°+120°*k) + i*[sen(50°+120°*k) + sen(70° + 120°*k)], k E {0,1,2}
Podemos rearranjar a sentença, aplicando as fórmulas de prostaferese:
x = 2*cos(60°+120°*k)*cos(10°) + 2*i*sen(60°+120°*k)*cos(10°), k E {0,1,2}
x = 2*cos(10°)*[cos(60° + 120°*k) + i*sen(60°+120°*k)], k E {0,1,2}
Portanto, teremos que analisar as possibilidades:
k=0 implica em:
x = 2*cos(10°)*[cos(60°) + i*sen(60°)] = cos(10°)*[1 + Raiz(3)i]
k=1 implica em:
x = 2*cos(10°)*[cos(180°) + i*sen(180°)] = -2*cos(10°)
k=2 implica em:
x = 2*cos(10°)*[cos(300°) + i*sen(300°)] = cos(10°)*(1 - Raiz(3)i)
É preciso ressaltar que nem sempre os valores de x encontrados assim são raízes da equação.
Portanto, temos que testá-los. Por questão de simplicidade, vamos testar primeiro a raiz real encontrada:
Tomando x=-2*cos(10°),
-8*cos³(10°) + 6*cos(10°) + Raiz(3) = 0
-2*[4*cos³(10°) - 3*cos(10°)] + Raiz(3) = 0
Lembrando que 4*cos³(x) - 3*cos(x) = cos(3x), temos:
-2*cos(30°) + Raiz(3) = 0
-2*Raiz(3)/2 + Raiz(3) = 0
0 = 0
Concluímos, portanto, que -2*cos(10°) é raiz da equação. Ao invés de testar os outros valores encontrados acima, podemos efetuar uma divisão de polinômios (que irá facilitar muito as coisas):
x³ - 3x + Raiz(3) = [x + 2*cos(10°)]*[x² - 2*cos(10°)*x + (4*cos²(10°) - 3)]
Obs.: Usei o método da chave, mas não consegui encontrar um jeito de escrevê-lo aqui.
Resolvendo a equação de segundo grau que resta, obtemos:
x = cos(10°) + sen(10°)*Raiz(3)
x = cos(10°) - sen(10°)*Raiz(3)
Mas note que cos(10°) + sen(10°)*Raiz(3) = 2*[(1/2)*cos(10°) + sen(10°)*Raiz(3)/2] = 2*[sen(30°)*cos(10°) + sen(10°)*cos(30°)] = 2*sen(40°)
Analogamente, cos(10°) - sen(10°)*Raiz(3) = 2*sen(20°)
O conjunto solução, é, portanto:
S = {-2*cos(10°), 2*sen(20°), 2*sen(40°)}