\documentclass[a4paper,titlepage,12pt]{amsart}
\usepackage[danish]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\linespread{1.3}
% define the title
\author{Jens Kristian Egsgaard}
\title{Kursusarbejde Nr 3, vandtårn}
\begin{document}
% generates the title
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Opgaver}
Vi indlægger et normalt retvinklet koordinatsystem således at origo ligger i B, AB ligger på x-aksen og det skraverede område ligger i 1 og 4 kvadrant. vi ved at parabelen går igennem punktet $(6 , 3.5)$, så nu kan vi opstille en ligning hvor kun a er ukendt.
\begin{align*}
y &= a \cdot x^2 \\
3.5 &= a \cdot 6^2\\
a &= \frac{3.5}{6^2}\\
\end{align*}
For at finde rumfanget er det praktisk, hvis centrumsaksen af vandtårnet ligger på x-aksen. Vi forskyder derfor vores koordinatsystem 1.5 meter ned af y-aksen, svarende til at alle punkters y-værdier bliver forøget med 1.5. Derfor hedder vores parabel nu:
\begin{equation}
{\frac{3.5}{6^2}} \cdot x^2+1.5
\end{equation}
${\frac{3.5}{6^2}} \cdot x^2+1.5$
\input{parabel}
Vi kan finde forskriften for sådan en drejet parabel som den omvendte funktion:
\begin{align*}
y = a*x^2 \\
x = a*y^2 \\
\sqrt{\frac{x}{a}} &= y \\
\end{align*}
\input{parabelben}
\subsection{stenet!}
sdf
\end{document}