rendered paste body\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{amsthm}
\newtheorem*{theorem}{Teorema}
\title{\'Algebra}
\author{Diogo Franco}
\begin{document}
\maketitle
\section{Produto Vetorial Triplo}
\begin{theorem}
\[
(\vec{a}\wedge\vec{b})\wedge\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
O produto vetorial interno (de $\vec{a}\wedge\vec{b}$) \'e dado por:
\[
\begin{vmatrix}
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\
a_x & a_y & a_z\\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
= \hat{\imath}(a_yb_z - a_zb_y) + \hat{\jmath}(a_zb_x - a_xb_z) + \hat{k}(a_xb_y - a_yb_x)
\]
Chamaremos esse resultado de $\vec{p}$. Realizando agora o produto $\vec{p}\wedge\vec{c}$:
\[
\begin{vmatrix}
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\
p_x & p_y & p_z\\
c_x & c_y & c_z
\end{vmatrix}
= \hat{\imath}(p_yc_z - p_zc_y) + \hat{\jmath}(p_zc_x - p_xc_z) + \hat{k}(p_xc_y - p_yc_x)
\]
Substituindo $\vec{p}$ pelo seu valor em $\hat{\imath}(p_yc_z - p_zc_y)$, temos para $\hat{\imath}$:
\[(a_zb_x - a_xb_z)c_z - (a_xb_y - a_yb_x)c_y\]
Reorganizando:
\[a_zb_xc_z - a_xb_zc_z - a_xb_yc_y + a_yb_xc_y = b_x(a_yc_y + a_zc_z) - a_x(b_yc_y + b_zc_z)\]
Adicionando e subtraindo $a_xb_xc_x$, temos:
\[b_x(a_xc_x + a_yc_y + a_zc_z) - a_x(b_xc_x + b_yc_y + b_zc_z)\]
$(a_xc_x + a_yc_y + a_zc_z)$ \'e equivalente a $(\vec{a}\cdot\vec{c})$ e $(b_xc_x + b_yc_y + b_zc_z)$ a $(\vec{b}\cdot\vec{c})$.
Substituindo, temos ent\~ao:
\[b_x(\vec{a}\cdot\vec{c}) - a_x(\vec{b}\cdot\vec{c}))\]
Analogamente, para $\hat{\jmath}$ e $\hat{k}$:
\[b_y(\vec{a}\cdot\vec{c}) - a_y(\vec{b}\cdot\vec{c})\]
\[b_z(\vec{a}\cdot\vec{c}) - a_z(\vec{b}\cdot\vec{c})\]
Somando:
\[
\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})
\]
\end{proof}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: