rendered paste body\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem*{theorem}{Teorema}
\title{\'Algebra}
\author{Diogo Franco}
\begin{document}
\maketitle
\section{Produto Vetorial Triplo}
\begin{theorem}
\[
(\vec{a}\wedge\vec{b})\wedge\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}
O produto vetorial interno (de $\vec{a}\wedge\vec{b}$) \'e dado por:
\[
\begin{vmatrix}
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\
a_x & a_y & a_z\\
b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
= \hat{\imath}(a_yb_z - a_zb_y) + \hat{\jmath}(a_xb_z - a_zb_x) + \hat{k}(a_xb_y - a_yb_x)
\]
Chamaremos esse resultado de $\vec{p}$. Realizando agora o produto $\vec{p}\wedge\vec{c}$:
\[
\begin{vmatrix}
\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\
p_x & p_y & p_z\\
c_x & c_y & c_z
\end{vmatrix}
= \hat{\imath}(p_yc_z - p_zc_y) + \hat{\jmath}(p_xc_z - p_zc_x) + \hat{k}(p_xc_y - p_yc_x)
\]
Substituindo $\vec{p}$ pelo seu valor em $\hat{\imath}(p_yc_z - p_zc_y)$, temos para $\hat{\imath}$:
\[(a_xb_z - a_zb_x)c_z - (a_xb_y - a_yb_x)c_y\]
Reorganizando:
\[a_xb_zc_z - a_zb_xc_z - (a_xb_yc_y - a_yb_xc_y) = a_x(b_zc_z - b_yc_y) - b_x(a_zc_z - a_yc_y)\]
Adicionando e subtraindo $a_xb_xc_x$, temos:
\[a_x(b_zc_z - b_yc_y - b_xc_x) - b_x(a_zc_z - a_yc_y - a_xc_x)\]
Multiplicando por -1 temos:
\[-1(a_x(b_zc_z - b_yc_y - b_xc_x) - b_x(a_zc_z - a_yc_y - a_xc_x)) = -a_x(b_zc_z + b_yc_y + b_xc_x) + b_x(a_zc_z + a_yc_y + a_xc_x)\]
$(b_zc_z + b_yc_y + b_xc_x)$ \'e equivalente a $(\vec{b}\cdot\vec{c})$ e $(a_zc_z + a_yc_y + a_xc_x)$ a $(\vec{a}\cdot\vec{c})$.
Multiplicando novamente por -1 e reordenando, temos ent\~ao:
\[-1(a_x(\vec{b}\cdot\vec{c}) - b_x(\vec{a}\cdot\vec{c})) = b_x(\vec{a}\cdot\vec{c}) - a_x(\vec{b}\cdot\vec{c}) \]
Analogamente, para $\hat{\jmath}$ e $\hat{k}$:
\[b_x(\vec{a}\cdot\vec{c}) - a_x(\vec{b}\cdot\vec{c})\]
\[b_x(\vec{a}\cdot\vec{c}) - a_x(\vec{b}\cdot\vec{c})\]
Somando:
\[
\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})
\]
\end{proof}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: