The Hadamard gate is its own inverse: squaring it yields the identity gate. To prove this, we first remember that the Hadamard gate is ket zero bra zero plus ket one bra zero plus ket zero bra one minus ket one bra one, all divided by the square root of two. Squaring this gives ket zero bra zero ket zero bra zero plus ket zero bra zero ket one bra zero plus ket zero bra zero ket zero bra one minus ket zero bra zero ket one bra one plus ket one bra zero ket zero bra zero plus ket one bra zero ket one bra zero plus ket one bra zero ket zero bra one minus ket one bra zero ket one bra one plus ket zero bra one ket zero bra zero plus ket zero bra one ket one bra zero plus ket zero bra one ket zero bra one minus ket zero bra one ket one bra one minus ket one bra one ket zero bra zero minus ket one bra one ket one bra zero minus ket one bra one ket zero bra one plus ket one bra one ket one bra one all divided by two, which is ket zero one bra zero plus ket zero zero bra zero plus ket zero one bra one minus ket zero zero bra one plus ket one one bra zero plus ket one zero bra zero plus ket one one bra one minus ket one zero bra one plus ket zero zero bra zero plus ket zero one bra zero plus ket zero zero bra one minus ket zero one bra one minus ket one zero bra zero minus ket one one bra zero minus ket one zero bra one plus ket one one bra one all divided by two, which is ket zero bra zero plus ket zero bra one plus ket one bra zero plus ket one bra one plus ket zero bra zero minus ket zero bra one minus ket one bra zero plus ket one bra one all divided by two, which is two ket zero bra zero plus two ket one bra one all divided by two, which is ket zero bra zero plus ket one bra one, which is the identity gate. Q.E.D.