\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{graphics}
\usepackage[T1]{fontenc} % Fr svenska bokstver
\usepackage[swedish]{babel} % Fr svensk avstavning och svenska
% rubriker (t ex "Innehllsfrteckning")
\usepackage{fancyvrb} % Fr programlistor med tabulatorer
\fvset{tabsize=4} % Tabulatorpositioner
\fvset{fontsize=\small} % Lagom storlek fr programlistor
\title{Newton-Raphsons metod}
\author{Per Holm}
\date{14 maj 2008} % Blir dagens datum om det utelmnas
\begin{document} % Brjan p dokumentet
\maketitle % Skriver ut rubriken som vi
% definierade ovan med \title, \author
% och eventuellt \date
% Hr skrivs all text i dokumentet
Newton-Raphsons metod
Per Holm
21 september 2001
\section{Numeriska metoder}
En \emph{numerisk metod} r en metod med vars hjlp man kan finna en
approximativ lsning till ett matematiskt problem. Lsningen ges i
numerisk form dvs i form av ett antal talvrden. Till exempel kan man
med en numerisk metod rkna ut att roten till ekvationen $x^2 = 3$ r
1.73205\ldots, men inte f fram den analytiska lsningen \sqrt{3}.
I mnga problem r man hnvisad till numeriska metoder. Det kan
bero p att problemet inte har ngon analytisk lsning eller att det
skulle vara alltfr arbetsamt att f fram denna.
I denna rapport studeras en numerisk metod fr att lsa ekvationer
med en obekant, nmligen Newton-Raphsons metod./footnote{Metoden kallas ibland Newtons metod}
\section{Newton-Raphsons metod}
\subsection{Teori}
Vi sker en rot \alpha till ekvationen $f(x) = 0$. Vi antar att vi vet att
roten ligger i nrheten av talet $x_{0}$ och skall frska frbttra denna
approximativa lsning. Vi kan bilda nya approximationer $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$,
\ldots med fljande formel:
$x_{k+1} = x_{k} - \[ \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})$
Metoden skdliggrs geometriskt i figur ??. Tangenten i punkten
$(x_{0},f(x_{0})$ skr x-axeln fr $x = x_{1}$, tangenten i punkten $(x1,f(x_{1})$
skr x-axeln fr $x = x_{2}$, osv. Av figuren frstr vi att $x_{k}\rightarrow \alpha d $k \rightarrow \infty.
Newton-Raphsons metod kan hrledas genom att man serieutvecklar
funktionen $f(x_{0}-\epsilon)$ och trunkerar utvecklingen efter den linera
termen. Ur serieutvecklingen kan man ocks f ett uttryck p
feltermen.
\begin{figure}
\begin{center}
\resizebox{!}{35mm}{\includegraphics{nrbild.eps}}
\caption{Figur: Newton-Raphsons metod}
\end{center}
\label{bild}
\end{figure}
\subsection{Exempel}
Ekvationen $e^{-x} = \sin(x)$ har en rot nra 0.6. Bestm denna rot med
Newton-Raphsons metod.
Hr r $f(x) = e^{-x}-\sin(x), f'(x) = -e^{-x}-\cos(x)$. Om vi rknar
med 9 decimaler s fr vi:
x & f(x) & f'(x) & f(x)/f'(x) \\
0.6 & -0.015830837 & -1.374147251 & 0.011510481 \\
0.588479519 & 0.000073820 & -1.386956425 & -0.000053224 \\
0.588532743 & 0.000000001 & -1.386897331 & -0.000000001 \\
0.588532744 & \\
dvs $\alpha = 0.588532744$.
\subsection{Konvergens}
Newton-Raphsons metod konvergerar i allmnhet \emph{kvadratiskt} mot den
skta roten, vilket innebr att antalet korrekta siffror i svaret
frdubblas i varje iteration. Men det finns fall d konvergensen
blir smre eller d metoden inte alls konvergerar, nmligen d man
rkar ut fr en derivata som r nra noll. Tv sdana fall illustreras
i figur 2.
\begin{figure}
\begin{center}
\resizebox{!}{50mm}{\includegraphics{konvbild.eps}}
\caption{Figur: Konvergensproblem}
\end{center}
\label{bild}
\end{figure}
\section{Newton-Raphsons metod i Java}
Det r inte helt enkelt att implementera Newton-Raphsons metod i ett
program, tminstone inte om man krver att metoden skall fungera i
alla upptnkliga fall. I metoden \textsf{solve} som visas nedan finns bara
den grundlggande algoritmen med: vi har inte tagit hnsyn till
undantagsfall som finns eller fel som kan intrffa, till exempel
att derivatan fprim(x0) blir nra noll (se avsnitt 2.3).
\begin{verbatim}
class NewtonRaphson {
private static double f(double x) {
return ...;
}
private static double fprim(double x) {
return ...;
}
public static double solve(double x0, double eps) {
double x1 = x0;
do {
x0 = x1;
x1 = x0 - f(x0) / fprim(x0);
} while (Math.abs(x1 - x0) > Math.abs(x1) * eps);
return x1;
}
}
\end{verbatim}
\end{document} % Slut p dokumentet