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# 数学试卷

## 一、选择题

本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

**1.** 样本数据 \(6\)，\(8\)，\(4\)，\(5\)，\(12\) 的中位数为

- A. \(5\)
- B. \(6\)
- C. \(8\)
- D. \(9\)

**2.** 已知平面向量 \(\boldsymbol{a}\)，\(\boldsymbol{b}\) 不共线，且 \(2\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}=x\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\)，则

- A. \(x=2,\ y=-3\)
- B. \(x=-2,\ y=3\)
- C. \(x=2,\ y=3\)
- D. \(x=-2,\ y=-3\)

**3.** 已知集合

\[
A=\left\{\sin\frac{7\pi}{6},\ \cos\frac{5\pi}{3},\ \tan\frac{5\pi}{4}\right\},\quad
B=\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2},\ 1\right\}
\]

则 \(A\cap B=\)

- A. \(\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2}\right\}\)
- B. \(\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1\right\}\)
- C. \(\left\{-\dfrac{1}{2},\ 1\right\}\)
- D. \(\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ -\dfrac{1}{2},\ 1\right\}\)

**4.** 曲线 \(y=5x+8\ln x\) 在点 \((1,\ 5)\) 处的切线方程为

- A. \(y=3x+2\)
- B. \(y=5x\)
- C. \(y=8x-3\)
- D. \(y=13x-8\)

**5.** 已知抛物线 \(C_1:y^2=2p_1x\ (p_1>0)\) 和 \(C_2:x^2=2p_2y\ (p_2>0)\) 均经过点 \((4,\ 8)\)，则 \(C_1\) 的焦点与 \(C_2\) 的焦点之间的距离为

- A. \(12\)
- B. \(4\sqrt{5}\)
- C. \(6\)
- D. \(\dfrac{\sqrt{65}}{2}\)

**6.** 已知函数

\[
f(x)=\frac{x+2}{\mathrm e^x+a}
\]

的最大值为 \(1\)，则 \(a=\)

- A. \(\dfrac{1}{2}\)
- B. \(1\)
- C. \(\dfrac{3}{2}\)
- D. \(2\)

**7.** 108 塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群有 \(108\) 座塔，依山势自下而上排成 \(12\) 行，将第 \(i\) 行中塔的座数记为 \(a_i\ (i=1,2,\cdots,12)\)，其中 \(a_1=1\)，\(a_2=a_3=3\)，\(a_4=a_5=5\)，且 \(a_6,a_7,\cdots,a_{12}\) 是一个首项为 \(7\)、公差为 \(2\) 的等差数列。将 \(a_1,a_2,\cdots,a_{12}\) 分为 \(6\) 组，每组两个数，使得每组的两个数之和可构成一个项数为 \(6\) 且公差为 \(d\ (d>0)\) 的等差数列，则 \(d=\)

- A. \(2\)
- B. \(4\)
- C. \(6\)
- D. \(8\)

**8.** 设

\[
U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},\ i=1,2,3\}
\]

为空间中 \(64\) 个点构成的集合，点 \(P(1,1,1)\)。记样本空间

\[
\Omega=\complement_U\{P\}
\]

从 \(\Omega\) 中随机选取一个点，定义随机变量 \(X\) 如下：对于 \(\Omega\) 中的每个点 \(A(x_1,x_2,x_3)\)，令

\[
X(A)=x_1+x_2+x_3
\]

则 \(X\) 的数学期望为

- A. \(-\dfrac{1}{21}\)
- B. \(-\dfrac{1}{63}\)
- C. \(0\)
- D. \(\dfrac{1}{7}\)

---

## 二、多选题

本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

**9.** 设 \(z=3+2\mathrm i\)，则

- A. \(\overline z=3-2\mathrm i\)
- B. \(|z|=5\)
- C. \(z^2=5+12\mathrm i\)
- D. \(\dfrac{z+3}{z-\mathrm i}\in\mathbb R\)

**10.** 在空间中，\(A\)，\(B\) 为两个定点，动点 \(C\) 到直线 \(AB\) 的距离为 \(2\)，动点 \(D\) 到直线 \(AB\) 的距离为 \(1\)。若二面角 \(C\text{-}AB\text{-}D\) 为 \(60^\circ\)，则

- A. \(\angle CAD\ge 60^\circ\)
- B. \(CD\ge\sqrt 3\)
- C. 当 \(AB\perp CD\) 时，\(CD\perp\) 平面 \(ABD\)
- D. 当 \(AB\perp\) 平面 \(ACD\) 时，\(AC\perp AD\)

**11.** 已知圆

\[
C_1:(x+1)^2+y^2=1,\quad
C_2:(x-1)^2+y^2=1,\quad
C_3:x^2+(y-\sqrt3)^2=1
\]

直线 \(l:y=kx+b\) 与 \(C_1,C_2,C_3\) 均有两个交点。设 \(l\) 被 \(C_1,C_2,C_3\) 截得的弦长分别为 \(s_1,s_2,s_3\)，则

- A. \(k\) 可以取任意实数
- B. 满足 \(s_1=s_2=s_3\) 的直线 \(l\) 共有 \(3\) 条
- C. 满足 \(s_1+s_2+s_3=3\) 的直线 \(l\) 多于 \(3\) 条
- D. 当 \(b=0\) 时，\(s_1+s_2+s_3\) 的最大值为 \(\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\)

---

## 三、填空题

本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

**12.** 双曲线 \(5x^2-6y^2=1\) 的离心率为 \(\underline{\qquad}\)。

**13.** 已知 \(f(x)=2\sin(ax+\theta)\)，其中 \(a\in\mathbb Z,\ 0\le\theta<2\pi\)。若 \(f(x)\) 是偶函数，且 \(f(x)\) 在区间 \(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) 单调递增，则

\[
\theta=\underline{\qquad},\qquad
f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\underline{\qquad}
\]

**14.** 设实数 \(q\) 满足：存在数列 \(\{a_n\}\)，使得对于任意 \(n\in\mathbb N^*\)，均有

\[
a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n
\]

且 \(\{a_n\}\) 中有某些连续 \(9\) 项 \(a_k,a_{k+1},\cdots,a_{k+8}\) 是公比为 \(q\) 的等比数列，则 \(q\) 的最大值为 \(\underline{\qquad}\)。

---

## 四、解答题

本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

### 15.（13 分）

在直三棱柱 \(ABC\text{-}A_1B_1C_1\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(AC=BC\)，\(D\)，\(E\) 分别为 \(AB\)，\(AC_1\) 的中点。

（1）证明：\(DE\parallel\) 平面 \(BCC_1B_1\)；

（2）设 \(CC_1=2\)，直线 \(DE\) 与平面 \(ACC_1A_1\) 所成的角为 \(45^\circ\)，求直线 \(DE\) 到平面 \(BCC_1B_1\) 的距离。

---

### 16.（15 分）

已知在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=3\)，\(BC=2\sqrt3\)，\(\cos B=\dfrac{\sqrt3}{3}\)。

（1）求 \(\cos A\)；

（2）设 \(D\)，\(E\) 两点满足：\(D\) 在 \(BA\) 的延长线上，\(DE\parallel BC\)，\(AE\perp AC\)。若 \(DE=\sqrt6\)，求 \(CE\)。

---

### 17.（15 分）

设整数 \(N\ge2\)，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 \(N\) 次，当且仅当投中一次时，或 \(N\) 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 \(p\ (0<p<1)\)，各次投中与否相互独立。记 \(X\) 为停止练习时该同学的投篮次数。

（1）当 \(N=4\)，\(p=\dfrac13\) 时，求 \(X\) 的分布列；

（2）设 \(k\)，\(m\) 均为自然数。

（i）当 \(k\le N-1\) 时，求 \(P(X>k)\)；

（ii）当 \(k+m\le N-1\) 时，证明：

\[
P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)
\]

---

### 18.（17 分）

已知椭圆

\[
C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a>b>0)
\]

的左焦点为 \(F(-1,0)\)，离心率为 \(\dfrac12\)。

（1）求 \(C\) 的方程；

（2）过 \(F\) 且斜率大于 \(0\) 的动直线 \(l\) 与 \(C\) 交于 \(P\)，\(Q\) 两点，其中 \(Q\) 在第三象限，直线 \(PO\) 与 \(C\) 的另一个交点为 \(R\)。

（i）若 \(\triangle PQR\) 的面积是 \(\triangle PFO\) 的面积的 \(3\) 倍，求 \(l\) 的方程；

（ii）求 \(\tan\angle PQR\) 的最小值。

---

### 19.（17 分）

已知函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\mathbb R\)，且当 \(x<0\) 时，\(f(x)=2^x\)。对任意 \(x_0\in\mathbb R\)，定义集合

\[
D(x_0)=\{d\in\mathbb R\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}
\]

（1）若当 \(x\ge0\) 时，\(f(x)=1-x\)，求 \(D(-1)\)；

（2）若 \(f(x)\) 是奇函数，\(f(x_1)\le f(x_2)\) 且 \(x_1,x_2\ne0\)，证明：

\[
D(x_2)\subseteq D(x_1)
\]

（3）设 \(f(x)\) 满足：

① 若 \(f(x_1)\le f(x_2)\)，则 \(D(x_2)\subseteq D(x_1)\)；

② 当 \(0<x<1\) 时，\(f(x)<f(0)\)。

（i）证明：\(f(0)\ge1\)；

（ii）证明：\(f(x)\) 在区间 \((0,+\infty)\) 单调递增。