{"id":"3MSuBT8uyJ","url":"https://pastebin.ca/3MSuBT8uyJ","raw_url":"https://raw.anybin.ca/3MSuBT8uyJ","visibility":"public","access":"public","created_at":1780848664732,"expires_at":1781453464732,"fetch_limit":null,"fetches_used":0,"reads_remaining":null,"size_bytes":7076,"syntax_hint":null,"title":null,"filename":null,"change_note":null,"cipher":null,"cipher_meta":null,"parent_id":null,"root_id":"3MSuBT8uyJ","version":1,"owner_id":null,"recipient_id":null,"body":"# 数学试卷\n\n## 一、选择题\n\n本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。\n\n**1.** 样本数据 \\(6\\)，\\(8\\)，\\(4\\)，\\(5\\)，\\(12\\) 的中位数为\n\n- A. \\(5\\)\n- B. \\(6\\)\n- C. \\(8\\)\n- D. \\(9\\)\n\n**2.** 已知平面向量 \\(\\boldsymbol{a}\\)，\\(\\boldsymbol{b}\\) 不共线，且 \\(2\\boldsymbol{a}+y\\boldsymbol{b}=x\\boldsymbol{a}-3\\boldsymbol{b}\\)，则\n\n- A. \\(x=2,\\ y=-3\\)\n- B. \\(x=-2,\\ y=3\\)\n- C. \\(x=2,\\ y=3\\)\n- D. \\(x=-2,\\ y=-3\\)\n\n**3.** 已知集合\n\n\\[\nA=\\left\\{\\sin\\frac{7\\pi}{6},\\ \\cos\\frac{5\\pi}{3},\\ \\tan\\frac{5\\pi}{4}\\right\\},\\quad\nB=\\left\\{-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ -\\frac{1}{2},\\ 1\\right\\}\n\\]\n\n则 \\(A\\cap B=\\)\n\n- A. \\(\\left\\{-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2},\\ -\\dfrac{1}{2}\\right\\}\\)\n- B. \\(\\left\\{-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2},\\ 1\\right\\}\\)\n- C. \\(\\left\\{-\\dfrac{1}{2},\\ 1\\right\\}\\)\n- D. \\(\\left\\{-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2},\\ -\\dfrac{1}{2},\\ 1\\right\\}\\)\n\n**4.** 曲线 \\(y=5x+8\\ln x\\) 在点 \\((1,\\ 5)\\) 处的切线方程为\n\n- A. \\(y=3x+2\\)\n- B. \\(y=5x\\)\n- C. \\(y=8x-3\\)\n- D. \\(y=13x-8\\)\n\n**5.** 已知抛物线 \\(C_1:y^2=2p_1x\\ (p_1>0)\\) 和 \\(C_2:x^2=2p_2y\\ (p_2>0)\\) 均经过点 \\((4,\\ 8)\\)，则 \\(C_1\\) 的焦点与 \\(C_2\\) 的焦点之间的距离为\n\n- A. \\(12\\)\n- B. \\(4\\sqrt{5}\\)\n- C. \\(6\\)\n- D. \\(\\dfrac{\\sqrt{65}}{2}\\)\n\n**6.** 已知函数\n\n\\[\nf(x)=\\frac{x+2}{\\mathrm e^x+a}\n\\]\n\n的最大值为 \\(1\\)，则 \\(a=\\)\n\n- A. \\(\\dfrac{1}{2}\\)\n- B. \\(1\\)\n- C. \\(\\dfrac{3}{2}\\)\n- D. \\(2\\)\n\n**7.** 108 塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。该塔群有 \\(108\\) 座塔，依山势自下而上排成 \\(12\\) 行，将第 \\(i\\) 行中塔的座数记为 \\(a_i\\ (i=1,2,\\cdots,12)\\)，其中 \\(a_1=1\\)，\\(a_2=a_3=3\\)，\\(a_4=a_5=5\\)，且 \\(a_6,a_7,\\cdots,a_{12}\\) 是一个首项为 \\(7\\)、公差为 \\(2\\) 的等差数列。将 \\(a_1,a_2,\\cdots,a_{12}\\) 分为 \\(6\\) 组，每组两个数，使得每组的两个数之和可构成一个项数为 \\(6\\) 且公差为 \\(d\\ (d>0)\\) 的等差数列，则 \\(d=\\)\n\n- A. \\(2\\)\n- B. \\(4\\)\n- C. \\(6\\)\n- D. \\(8\\)\n\n**8.** 设\n\n\\[\nU=\\{(x_1,x_2,x_3)\\mid x_i\\in\\{-2,-1,1,2\\},\\ i=1,2,3\\}\n\\]\n\n为空间中 \\(64\\) 个点构成的集合，点 \\(P(1,1,1)\\)。记样本空间\n\n\\[\n\\Omega=\\complement_U\\{P\\}\n\\]\n\n从 \\(\\Omega\\) 中随机选取一个点，定义随机变量 \\(X\\) 如下：对于 \\(\\Omega\\) 中的每个点 \\(A(x_1,x_2,x_3)\\)，令\n\n\\[\nX(A)=x_1+x_2+x_3\n\\]\n\n则 \\(X\\) 的数学期望为\n\n- A. \\(-\\dfrac{1}{21}\\)\n- B. \\(-\\dfrac{1}{63}\\)\n- C. \\(0\\)\n- D. \\(\\dfrac{1}{7}\\)\n\n---\n\n## 二、多选题\n\n本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。\n\n**9.** 设 \\(z=3+2\\mathrm i\\)，则\n\n- A. \\(\\overline z=3-2\\mathrm i\\)\n- B. \\(|z|=5\\)\n- C. \\(z^2=5+12\\mathrm i\\)\n- D. \\(\\dfrac{z+3}{z-\\mathrm i}\\in\\mathbb R\\)\n\n**10.** 在空间中，\\(A\\)，\\(B\\) 为两个定点，动点 \\(C\\) 到直线 \\(AB\\) 的距离为 \\(2\\)，动点 \\(D\\) 到直线 \\(AB\\) 的距离为 \\(1\\)。若二面角 \\(C\\text{-}AB\\text{-}D\\) 为 \\(60^\\circ\\)，则\n\n- A. \\(\\angle CAD\\ge 60^\\circ\\)\n- B. \\(CD\\ge\\sqrt 3\\)\n- C. 当 \\(AB\\perp CD\\) 时，\\(CD\\perp\\) 平面 \\(ABD\\)\n- D. 当 \\(AB\\perp\\) 平面 \\(ACD\\) 时，\\(AC\\perp AD\\)\n\n**11.** 已知圆\n\n\\[\nC_1:(x+1)^2+y^2=1,\\quad\nC_2:(x-1)^2+y^2=1,\\quad\nC_3:x^2+(y-\\sqrt3)^2=1\n\\]\n\n直线 \\(l:y=kx+b\\) 与 \\(C_1,C_2,C_3\\) 均有两个交点。设 \\(l\\) 被 \\(C_1,C_2,C_3\\) 截得的弦长分别为 \\(s_1,s_2,s_3\\)，则\n\n- A. \\(k\\) 可以取任意实数\n- B. 满足 \\(s_1=s_2=s_3\\) 的直线 \\(l\\) 共有 \\(3\\) 条\n- C. 满足 \\(s_1+s_2+s_3=3\\) 的直线 \\(l\\) 多于 \\(3\\) 条\n- D. 当 \\(b=0\\) 时，\\(s_1+s_2+s_3\\) 的最大值为 \\(\\dfrac{2\\sqrt{21}}{3}\\)\n\n---\n\n## 三、填空题\n\n本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。\n\n**12.** 双曲线 \\(5x^2-6y^2=1\\) 的离心率为 \\(\\underline{\\qquad}\\)。\n\n**13.** 已知 \\(f(x)=2\\sin(ax+\\theta)\\)，其中 \\(a\\in\\mathbb Z,\\ 0\\le\\theta<2\\pi\\)。若 \\(f(x)\\) 是偶函数，且 \\(f(x)\\) 在区间 \\(\\left(0,\\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\) 单调递增，则\n\n\\[\n\\theta=\\underline{\\qquad},\\qquad\nf\\left(\\frac{2\\pi}{3}\\right)=\\underline{\\qquad}\n\\]\n\n**14.** 设实数 \\(q\\) 满足：存在数列 \\(\\{a_n\\}\\)，使得对于任意 \\(n\\in\\mathbb N^*\\)，均有\n\n\\[\na_1+a_2+\\cdots+a_{3n}=n^2+n\n\\]\n\n且 \\(\\{a_n\\}\\) 中有某些连续 \\(9\\) 项 \\(a_k,a_{k+1},\\cdots,a_{k+8}\\) 是公比为 \\(q\\) 的等比数列，则 \\(q\\) 的最大值为 \\(\\underline{\\qquad}\\)。\n\n---\n\n## 四、解答题\n\n本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。\n\n### 15.（13 分）\n\n在直三棱柱 \\(ABC\\text{-}A_1B_1C_1\\) 中，\\(\\angle ACB=90^\\circ\\)，\\(AC=BC\\)，\\(D\\)，\\(E\\) 分别为 \\(AB\\)，\\(AC_1\\) 的中点。\n\n（1）证明：\\(DE\\parallel\\) 平面 \\(BCC_1B_1\\)；\n\n（2）设 \\(CC_1=2\\)，直线 \\(DE\\) 与平面 \\(ACC_1A_1\\) 所成的角为 \\(45^\\circ\\)，求直线 \\(DE\\) 到平面 \\(BCC_1B_1\\) 的距离。\n\n---\n\n### 16.（15 分）\n\n已知在 \\(\\triangle ABC\\) 中，\\(AB=3\\)，\\(BC=2\\sqrt3\\)，\\(\\cos B=\\dfrac{\\sqrt3}{3}\\)。\n\n（1）求 \\(\\cos A\\)；\n\n（2）设 \\(D\\)，\\(E\\) 两点满足：\\(D\\) 在 \\(BA\\) 的延长线上，\\(DE\\parallel BC\\)，\\(AE\\perp AC\\)。若 \\(DE=\\sqrt6\\)，求 \\(CE\\)。\n\n---\n\n### 17.（15 分）\n\n设整数 \\(N\\ge2\\)，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 \\(N\\) 次，当且仅当投中一次时，或 \\(N\\) 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 \\(p\\ (0<p<1)\\)，各次投中与否相互独立。记 \\(X\\) 为停止练习时该同学的投篮次数。\n\n（1）当 \\(N=4\\)，\\(p=\\dfrac13\\) 时，求 \\(X\\) 的分布列；\n\n（2）设 \\(k\\)，\\(m\\) 均为自然数。\n\n（i）当 \\(k\\le N-1\\) 时，求 \\(P(X>k)\\)；\n\n（ii）当 \\(k+m\\le N-1\\) 时，证明：\n\n\\[\nP(X>k+m\\mid X>k)=P(X>m)\n\\]\n\n---\n\n### 18.（17 分）\n\n已知椭圆\n\n\\[\nC:\\frac{x^2}{a^2}+\\frac{y^2}{b^2}=1\\quad(a>b>0)\n\\]\n\n的左焦点为 \\(F(-1,0)\\)，离心率为 \\(\\dfrac12\\)。\n\n（1）求 \\(C\\) 的方程；\n\n（2）过 \\(F\\) 且斜率大于 \\(0\\) 的动直线 \\(l\\) 与 \\(C\\) 交于 \\(P\\)，\\(Q\\) 两点，其中 \\(Q\\) 在第三象限，直线 \\(PO\\) 与 \\(C\\) 的另一个交点为 \\(R\\)。\n\n（i）若 \\(\\triangle PQR\\) 的面积是 \\(\\triangle PFO\\) 的面积的 \\(3\\) 倍，求 \\(l\\) 的方程；\n\n（ii）求 \\(\\tan\\angle PQR\\) 的最小值。\n\n---\n\n### 19.（17 分）\n\n已知函数 \\(f(x)\\) 的定义域为 \\(\\mathbb R\\)，且当 \\(x<0\\) 时，\\(f(x)=2^x\\)。对任意 \\(x_0\\in\\mathbb R\\)，定义集合\n\n\\[\nD(x_0)=\\{d\\in\\mathbb R\\mid f(x_0+d)>f(x_0)\\}\n\\]\n\n（1）若当 \\(x\\ge0\\) 时，\\(f(x)=1-x\\)，求 \\(D(-1)\\)；\n\n（2）若 \\(f(x)\\) 是奇函数，\\(f(x_1)\\le f(x_2)\\) 且 \\(x_1,x_2\\ne0\\)，证明：\n\n\\[\nD(x_2)\\subseteq D(x_1)\n\\]\n\n（3）设 \\(f(x)\\) 满足：\n\n① 若 \\(f(x_1)\\le f(x_2)\\)，则 \\(D(x_2)\\subseteq D(x_1)\\)；\n\n② 当 \\(0<x<1\\) 时，\\(f(x)<f(0)\\)。\n\n（i）证明：\\(f(0)\\ge1\\)；\n\n（ii）证明：\\(f(x)\\) 在区间 \\((0,+\\infty)\\) 单调递增。"}